Волгоградский государственный медицинский университет (ВолГМУ)

Задачи теории. Понятие скалярного и векторного полей. Производная скалярного поля в заданном направлении. Определение градиента. Свойства градиента – направление наиболее быстрого изменения скалярного поля и перпендикулярного к поверхности уровня.
Криволинейные системы координат. Базис единичных векторов. Коэффициенты Ламе. Второй способ выбора базиса единичных векторов. Дифференциальные параметры первого порядка. Связь коэффициентов Ламе и дифференциальных параметров первого порядка. Вычисление градиента в сферической и цилиндрической системе координат (примеры из физики).
Элементы длины, площади и объема в криволинейных ортогональных системах координат. Дифференциальное выражение для дивергенции векторного поля в ортогональной и криволинейной системе координат. Теорема Остроградского – Гаусса. Понятие ротора векторного поля. Дифференциальное выражение для ротора в ортогональной системе координат. Теорема Стокса. Физические приложения понятий дивергенции и ротора. Уравне-ния электродинамики и гидродинамики.
Дифференциальные операторы второго порядка. Оператор Лапласа. Выражение для оператора Лапласа в ортогональных криволинейных системах координат. Задачи электростатики. Формула Грина.
Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. Примеры задач биологического содержания, приводящих к ДУ. Решение обыкновенных ДУ и их геометрическая интерпретация. Постановка задач для ДУ с начальными условиями. Условия существования и единственности задачи Коши. Элементарные методы интегрирования ДУ. Уравнения с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним. Уравнения в полных дифференциалах и метод интегрирующего множителя.
Линейные ДУ с переменными коэффициентами. Элементы теории степенных и функциональных рядов. Признаки сходимости функциональных рядов. Постановка краевых задач. Задача Штурма – Лаувилля. Стационарные задачи квантовой механики. Неоднородная краевая задача. Функция Грина.
Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами. Решение однородных и неоднородных систем уравнений. Приближенные способы решений ДУ. Метод ломаных Эйлера. Метод Рунге – Кутта. Метод малого параметра.
Качественная теория ДУ. Устойчивость по Ляпунову. Автономные системы и их фазовая плоскость. Условия устойчивости решения линейной системы с постоянными коэффициентами. Типы точек покоя для системы двух ДУ. Терема Ляпунова.
Постановка задач уравнений математической физики. Классифи-кация уравнений. Примеры уравнений из области физики. Уравнения гиперболического типа на примере одномерного волнового уравнения и в двумерном случае. Уравнения параболиче-ского типа на примере уравнения диффузии. Уравнения эллипти-ческого типа. Уравнение Шредингера. Задача о связанных состояниях. Атом водорода. Полиномы Эрмита, Чебышева – Лагерра, сферические функции, полиномы Лежандра.